하나.4 삼각 함수,사인(sin), 코사인(cos), 탄 봅시다

[경고]에 아래 문장을 읽지 않고 "삼각함수"를 보시면 바보처럼 느껴질 수 있습니다.1. 피타 고라스의 정리 공학 문제에 빠지고 말고 등장하는 삼각 함수(trigonometric function)은 오랜 역사를 가지고 있지만 세로프게 관점이 계속 발견된다" 마르지 않는 샘물" 같은 존재다. 함수명에서 알 수 있듯이 삼각함수는 삼각형, 특히 직각삼각형의 비율로 정의한다. 삼각법(삼각법, trigonometry)의 영어 어원은 고대 그리스어의 트리고노메트론(τ로 γωνομέτ, 삼각 측량)이다. 고대 스메르와 바빌론의 천문관측술을 전해온 그리스인들이 비슷한 sound 삼각형의 특성을 이용해 변과 각도의 비율의 관계를 발견한 것이 삼각함수의 시작이다. 소원전 300년경(부여 건국 약 60년 전)"기하학의 아버지"유클리드는 직각 삼각형의 특징을 체계적으로 논증하고 있으며 소원전 140년경(위만 조선의 멸망, 약 30년 전)"삼각 법의 아버지"히 펄스(Hipparchus)는 초보적인 삼각 함수 표를 만들어 천문학에 성공적으로 응용했다.

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[그림 1]직각 삼각형(출처:wikipedia.org)[그림 1]을 이용하면 사인(sine), 코사인(cosine), 탄젠트(tangent)함수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

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(하나) 여기서 hypotenuse, adjacent, opposite는 보통 사변, 하변, 높이로 부른다.

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[그림 2]환율에 있는 반현(출처:wikipedia.org)함수 sin의 어원은 라틴어(Latin)'sinus'입니다. 사실, "부러진 sound(fold, bosom, or bay)"를 뜻하는 "sinus"는 산스크리트어(Sanskrit)와 아랍어(Arabic)로, 반현(반현, half the chord)을 뜻하는 단어를 오역한 것입니다. 방 현웅[그림 2]에 있는 쵸록송인 현재(현, chord)은[그림 4]에 있는 푸른 선입니다. 함수 'tan'의 어원도 라틴어 'tangens'입니다. "tangens는 "붙어있는 sound(touching)"를 의미하기 때문에 접선의 의의가 된다. 함수 cos는 상보적 사인(complementary sine)의 약자로, 우리이 스토리에서 더 풀면 사인을 돕는 상호 보완적인 함수가 코사인이 된다. 확실히 보면 여현은 각도의 점으로 사인을 보완한다.(직각 삼각형의 관점에서 sin(90∘ − θ)=cosθ sin⁡(90∘ − θ)=cos⁡ θ이므로 당연 상보적입니다. 혹은 사인과 코사인 함수치는 반지름이 하나인 원을 따라 움직여야 하기 때문에 서로 제휴하고 있다.고등학교 수학 때 식을 소개하기 때문에, 대부분 식의 정의를 잘 알지만, 우리는 좀 더 근본적인 질문을 할 필요가 있다. 예를 들면, 직각 삼각형의 경우 삼각형의 크기에 관계 없이 끼어들 뿔([그림 1]에서 AA)이 같다면식(한)에서 정의된 비율이 거의 매일 같은 이유는 무엇인가? 직각삼각형에 대해 식(一)을 증명할 수 있는가? 물론 비슷한 삼각형을 만들어 비슷하기 때문에 비례관계에 따라 삼각함수치는 하나 정도라고 할 수 있지만 이 특성에 꼬리를 당겨 비슷할 경우 비례가 성립하는 원인을 알아보자.[그림 3]에 있는 큰 직각 삼각형의 길이(a2a2, b2b2, h2h2)이 정해진 경우 이보다 작은 직각 삼각형(a한가지 a한개, b, 하나 b의 하나, h하나 h하 나로 구성)을 이프니다우이에 그릴 수 있다. 이 경우 큰 직각삼각형과 작은 직각삼각형의 삼각비가 꾸준함을 증명해 보자.

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[그림 3]에 비슷한 직각 삼각형[증명][그림 3]에 푸른 삼각형(a한개, b의 하나, h, 하나 a한개, b의 하나, h하 나로 구성)과 핑크의 삼각형(a2, b2, h2a2, b2, h2에서 구성)은 삼각이 전체 같아서 서로 비슷하다. 비슷한 두 삼각형은 직각삼각형이기 때문에 피타고라스의 정리에 의해 하식이 성립됩니다.

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(2)또 두 삼각형의 크기는 서로 다르기 때문에[그림 3]과 같은 녹색 삼각형(a2− a1a2− a1, b2− b1b2− b1, h2− h1h2− h1로 구성)을 항상 만들 수 있다. 이 초록색 삼각형도 직각삼각형이기 때문에 이하의 관계가 항상 성립됩니다.

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(3)여기서식(3)아래식은 1째식을 마친 후, 식(2)피타 고라스 정리를 대입하고 얻었다.식(3)의 최종 결과로식(2)을 서로 뺀다면 항등식(4)를 얻을 수 있다.

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(4)식(4)에 h첫 h쵸쯔를 곱하면 임의의 a처음 b첫 a처음 b쵸쯔에 대해서 이뤄져야 하기 때문에 이하의 sin, cos관계가 삼각형의 크기에 관계 없이 항상 성립하지 않으면 안 됩니다.

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(5)식(4)에서 a2, b2, h2a2, b2, h2는 고정된 값이어서 a한개, b, 하나 a한개, b하나로 마스 1도 a한/h의 하나, b, 하나/h, 하나 a한/h의 하나, b, 하나/h하나 은 변하지 말고 고정되어야 한다._________________________________ 위 증명은 직각 삼각형이 아닙니다.의미삼각형으로 쉽게 확장할 수 있다. 왜냐하면 모든 일이에요.의미 삼각형은 1혹은 두개의 직각 삼각형으로 소견할 수 있기 때문이었다(∵ 점과 직선 관계를 소견하면 항상 점에서 직선으로 수선을 사용할 수 있다.)도 한 삼각 대비로 같은 비례 성질은 좌표계의 특성과 밀접하게 연결되어 있다. 삼각비의 항등성과 같은 유클리드 기하학이 적용되는 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)는 모든 좌표축에서 선형적인 비례관계가 성립한다. 따라서 삼각비가 성립한다는 것은, 전제하고 있는 공간이 유클리드 공간(Euclidean space) 혹은 데카르트 좌표계라는 의미였다. 다른 관점에서 보면 비유클리드 공간(non-Euclidean space)에서는 삼각비의 항등성이 데카르트 좌표계와는 전혀 다른 구성이어야 한다. 즉, 이다 공간의 특성을 감지하는 잣대로 삼각비의 항등성은 매우 유용하다.

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[그림 4]엔에 접하는 직선(출처:wikipedia.org)위의 증명에서 항등식이 마음에 안 들면 다음과 같이 대수 기하학(대 수 기하학, algebraic geometry)적 접근이 가능하다. 가장제 하나 먼저식(2)을 h2개, h22h하나 2, h22에서 나쁘지 않고 누마타라고 x의 하나, x2x의 하나, x2, y한개, y2y한개, y2의 정의 방정식(6)째식을 이용하여 식(2)와(3)을 다시 사용한다.

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(6)식(6)아래식으로 궤적(x1, y1)(x1, y1)는 반경이 하나원(원, circle)의 방정식이다. 또식(4)처럼 x2, y2)(x2, y2)가 고정된 경우, 식(6)의 세번째식이 표현하는 궤적(x1, y1)(x1, y1)는 원에 접하는 직선의 방정식이다. 이를 증명하기 위해 미분 개념을 엔화에 적용하면 그 후처럼 된다.

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(7)식(7)을 보면 고정점(x2, y2)(x2, y2)부터 나쁘지 않아묘은소 반경이 하나 원에 접하는 접선식(tangent equation:[그림 4]에서 붉은 선)이었다 하고, 식(6)아래식과 세번째식을 동시에 만족하는 것은(x, y)=(x2, y2)(x, y)=(x2, y2)가 되어야 합니다. 즉, 입어요 점(x, y)(x, y에 엔의 방정식(식(6)아래식에서 반경이 혼자 원 위의 모든 점이 되지만 접선의 방정식(식(6)의 세번째 행사)에 의해서 입습니다의 점(x, y)(x, y에는 고정점(x2, y2)(x2, y2)에 접해야 하기 때문에(x, y)=(x2, y2)(x, y)=(x2, y2)이다. 그래서 이 결과는, 식(5)와 같다.

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[그림 5]삼각 함수의 확장(출처:wikipedia.org)식(6)와 같은 원의 방정식을 이용하면 삼각 함수 개념을[그림 5]과 함께 확장할 수 있다. 삼각함수는 더 이상 식(하나)과 같은 길이로 정의하지 않고 좌표계를 이용해 식(8)과 함께 정의한다.

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(8)

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(9)여기서 점(x, y)(x, y)은, 식(6)과 함께 반경이 하나의 서클(x2+y2=하나 x2+y2=하나)위에 있다. [그림 5]을 통해서 사인과 코사인 함수의 주기(주기, period:값이 반복되는 범위)은 2π 2π(=360도), 탄젠트 함수의 주기는 π π(=하나 80번)가 되는 것을 쉽게 알 수 있다.(∵[그림 5]에서 사인 함수는 yy축 값, 코사인 함수는 xx축 값, 탄젠트 함수는 직선의 키울이밈에)식(8)와(9)의 개념을 이용하면 다양한 삼각 함수 공식을 쉽게 증명할 수 있다.

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(하나 0)

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(11)

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[그림 6]법선을 가진 삼각형(출처:wikipedia.org)[사인 법칙(law of sines)]

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(하나 2)[증명][그림 6] 같은 법선(수직, normal)을 가진 삼각형을 고려하면 아래의 관계식이 언제 통과하는 것이다.

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(첫 3)_________[코사인 지에쵸쯔 법칙(the first law of cosines)]

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(하나 4)[증명][그림 6]의 삼각형과 수직을 감안하면, 식(하나 4)이 쉽게 증명된다._________[코사인 제2법칙(the second law of cosines)]

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(15)[증명]식(14)위쪽 두가지식에 a, ba, b를 각각 곱하면 다음을 얻을 수 있다.

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(첫 6)식(최초의 4)의 세번째의 식에 cc를 걸어식(첫 6)을 대입하면식(첫 5)이 증명된다.

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(일 7)_________식(9)에 있는 함수 sec은 어원이 라틴어'secans'이다. 'secans'는 '컷(cutting)'을 의미한다. 우리 내용물로는 할선(할선, secant) 그런데, 어디를 자른다는 것인가? 이를 이해하기 위해서,[그림 7]를 보자.

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[그림 7]원화와 정의한 삼각 함수들(출처:wikipedia.org)함수 sec은 전직에 접선의 tan이 xx축으로 만나기까지의 길이였다 이 관계는식(6)에 있는 접선의 방정식을 예식(첫 8)로 쓰면 분명히 보인다.

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(하나 8)또식(하나하나)의 관계식으로 함수 sec, tan은 직각 삼각형을[그림 7]과 함께 이루고 있다. 다시[그림 7]을 보면 함수 sec은 원화를 뚫고 자신 오고 있다. 자르는 선인할선이 된다.

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[ 그림 8] 래디언의 개념(출처: wikipedia.org)삼각함수에서 빼놓을 수 없는 개념은, [그림] 8]에서 정의하는 래지언입니다. 래디언을 이용한 각도표 헌법은 호도법(circular measure)이라고 합니다. 또 래디언은 "광경(ray or beam)"을 뜻하는 라틴어 라디우스(radius)에 뿌리를 두고 있으며, 래디언 끝에 있는 접미사 안(an)은 도구를 의미합니다. 그래서 래디언을 순우스트리로 직역하면 "빛개"가 된다.래디언 개념을 기반으로 각도를 표헌하면 이강과 같이 된다.

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(하나 9)여기에서 ll은 호의 길이(arc length), rr는 반경(radius), θ θ은 라디안으로 정의한 각도이다. 식(하나 9)의 우변 식이 의미하는 것은 라디안 θ θ을 360도 기준 ϑϑ으로 바꾸는 방법이다. θ=π θ=π[rad]를 대입하면 ϑ=하나 80/π ⋅ πϑ=하나 80/π ⋅ π=하나 80도를 얻을 수 있다.

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[그림 9]사인 함수의 형태(출처:wikipedia.org)삼각 함수의 입력치는 위상(위상 phase)라고 부른다. 위상을 쉽게 표현하면 ,"현재의 위치 형태(양상)"이라는 뜻이다. 사실 위상은 주기함수의 주기성을 위해 사용한다. 주기 함수는[그림 9]처럼 재발도 한 모양이 반복된다. 이 반복되는 무늬로 특정 xx축의 위치를 제대로 보여주기 위해 위상을 적는다. 그렇게 하면 모양이 반복되어도, xx축의 특정 위치를 가리킬 수 있다.그런데, 편리한 각도 개념에서 래디언은 왜 사용하는가? 이 개념을 이해하려면 삼각함수의 미분을 공부해야 한다. 라디안에서 정의하면 삼각 함수의 미분이 식(20)처럼 매우 쉽게 된다.

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(20)삼각 함수의 미분이 쉽게 되므로, 삼각 함수의 태양(나에게 급수(급수, Taylor series)도 다음과 같이 쉽게 표현된다.

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(21)

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(22)기하학과 2차원 좌표계를 이용하면 사인과 코사인 함수의 관계를 아래와 함께 얻을 수 있다.

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(23)------------------------------------------------------------------------------------------출처:https://blog.naver.com/ghebook